Математика — TechCave

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.

Стена группы

Загрузка...
Den
23 дня назад
#

Волновые процессы в гидравлических линиях. Основы





Привет, Хабр!

В
предыдущей статье я рассказывал про метод характеристик, предназначенный для расчёта волновых процессов в гидравлических линиях. На самом деле, конечно же, волновые процессы можно рассчитывать и в уме, нужно только знать подход.

Под катом я покажу “на пальцах” и при помощи гифок основные волновые эффекты. В качестве примера я буду использовать опять гидравлическую линию, но на самом деле в основе лежат практически те же самые уравнения, что и для акустики и электрических линий. Так что, даже если вы не гидравлик, может быть простые аналогии помогут вам разобраться в волновых процессах в целом.

Осторожно! Под катом 15 Мб анимированных гифок!


Источник
Загрузка...
Den
23 дня назад
#

Давайте уберём кватернионы из всех 3D-движков



image

Для записи трёхмерных поворотов программисты графики используют
кватернионы. Однако в
кватернионах сложно разобраться, потому что изучают их поверхностно. Мы просто принимаем на веру странные таблицы умножения и другие загадочные определения, и используем их как «чёрные ящики», поворачивающие векторы так, как нам нужно. Почему
$mathbf{i}^2=mathbf{j}^2=mathbf{k}^2=-1$и
$mathbf{i} mathbf{j} = mathbf{k}$? Почему мы берём вектор и превращаем его в «мнимый» вектор, чтобы преобразовать его, например
$mathbf{q} (xmathbf{i} + ymathbf{j} + z mathbf{k}) mathbf{q}^{*}$? Да кому это интересно, если всё работает, правда?

Существует способ описания поворотов под названием
ротор, который относится к области и комплексных чисел (в 2D), и кватернионов (в 3D), и даже обобщается до любого количества измерений.

Мы можем создавать роторы
практически полностью с нуля, вместо того, чтобы определять из ничего кватернионы и пытаться объяснить, как они работают
задним числом. Это занимает больше времени, но мне кажется, что это стоит того, потому что их гораздо легче понять!

Кроме того, для визуализации и понимания трёхмерных роторов не нужно использовать четвёртое пространственное измерение.

Было бы здорово, если бы начали вытеснять использование и изучение кватернионов, заменяя их роторами. Заменить их очень просто, а
код останется почти таким же. Всё, что можно делать с кватернионами, например, интерполяцию и устранение блокировки осей (Gimbal lock), можно сделать и с роторами.
Но понимать мы начинаем гораздо больше.

Источник
Загрузка...
Den
27 дней назад
#

Введение в комлексные числа



Привет!

Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.

image

А школьники могут что-то новое узнать ;)

// Всех кого заинтересовал прошу под кат.

Источник
Загрузка...
Den
27 дней назад
#

Проблемы современной записи математических текстов



В недавней статье товарищ
KvanTTT
поднял вопрос:

Можете пояснить что вам не нравится в современной записи (математических положений и) формул и как ее можно улучшить?
Я постарался ответить в одном комментарии, но размер текстового поля не позволил закончить выкладки. Данная статья — чрезмерно развернутый ответ.

Сразу скажу, материал холиварный. Местами слишком эмоциональный. Очень спорный. Слишком личный — часто основан на собственном опыте, небогатом, хоть и разнообразном. Пост касается школьных и университетских текстов учебников: у «профессиональной» литературы своя специфика, своя
аудитория. Решения у проблемы в текущих реалиях нет. При этом, часть «моих» наблюдений задолго до меня высказывали
такие авторитеты, как Кнут и Хэмминг; чуть менее популярные ребята даже запилили инструкцию "
Как читать математику".

Итак, на мой взгляд,
основные претензии не столько к записи формул, сколько к подаче материала. Причем, к подаче материала на практически всех уровнях образования, начиная со школы, и заканчивая передовой наукой. Начало текущей ситуации положил Евклид, заявивший про отсутствие царской дороги в математике. Царскую дорогу не проложили до сих пор. Евклид обходился, и мы сможем.

Источник
Загрузка...
27 дней назад
#

Отголоски волшебства на страже точных наук



image

Близится вечер пятницы, трудовыебудни очередной учебно-рабочей недели агрессивно подкрадываются к своему логическому завершению, а это значит, что можно самую малость ослабить мертвую хватку должностных обязанностей и немного побездельничать. А что может быть более умиротворяющим, чем предаться софистическим фантазиям на тему закономерностей, по которым существует сей бренный мир? Решительно, ничего…

Этим текстом предлагаю разбавить высокий градус серьезности большинства хабропубликаций и, откинувшись в кресле / по пути с работы / учебы, проследить за логикой одной бредовой интересной аналогии, раскрывающей все тайны мироздания (серьезно).

Источник
Загрузка...
27 дней назад
#

SMT-решатель на iPhone



Зачем покупать дорогой ПК, если ваш iPhone быстрее решает SMT?

Задача выполнимости формул в теориях (satisfiability modulo theories, SMT) — это задача разрешимости для логических формул с учётом лежащих в их основе теорий. —
Википедия

Несколько дней назад я
написал в твиттере: «Любопытный эксперимент: на новом iPhone прувер Z3 работает быстрее, чем на моём (довольно дорогом) десктопном Intel. Пора перевести все формальные методы исследований на телефон».

fun experiment: my new iPhone runs Z3 faster than my (rather expensive) Intel desktop!

time to start doing all my formal methods research on my phone pic.twitter.com/9Faz9qNvAI

— James Bornholt (@siderealed)
October 31, 2018


Я читал о невероятном прогрессе, которого добились
разработчики процессоров Apple, и что скоро маки переведут на
собственные ARM-процессоры от Apple. Эти отчёты обычно ссылаются на некоторые кросс-платформенные тесты, такие как
Geekbench для демонстрации, что мобильные процессоры Apple не уступают мобильным и настольным процессорам Intel. Но я всегда немного скептически относился к этим кросс-платформенным тестам (как и к
другим) — действительно ли они отражают скорость выполнения реальных задач, для которых я использую свои Mac?

Источник
Загрузка...
1 месяц назад
#

Численная проверка abc-гипотезы (да, той самой)



Привет, Habr.

На Geektimes Habr было уже несколько статей про abc-гипотезу (например
в 2013 и
в 2018 годах). Сама история про теорему, которую сначала много лет не могут доказать, а потом столько же лет не могут проверить, безусловно заслуживает как минимум, художественного фильма. Но в тени этой чудесной истории, сама теорема рассматривается черезчур поверхностно, хотя она не менее интересна. Уже хотя бы тем, что abc-гипотеза — одна из немногих нерешенных проблем современной науки, постановку задачи которой сможет понять даже пятиклассник. Если же эта гипотеза действительно верна, то из нее легко следует доказательство других важных теорем, например доказательство
теоремы Ферма.

Не претендуя на лавры Мотидзуки, я тоже решил попробовать решил проверить с помощью компьютера, насколько выполняются обещанные в гипотезе равенства. Собственно, почему бы нет — современные процессоры ведь не только для того чтобы в игры играть — почему бы не использовать компьютер по своему основному (compute — вычислять) предназначению…

Кому интересно что получилось, прошу под кат.

Источник
Загрузка...
1 месяц назад
#

Принцип наименьшего действия. Часть 2





В
прошлый раз мы кратко рассмотрели один из самых замечательных физических принципов — принцип наименьшего действия, и остановились на примере, который, казалось бы, ему противоречит. В данной статье мы разберемся с этим принципом немного подробнее и посмотрим, что происходит в данном примере.

Источник
Загрузка...
1 месяц назад
#

Аспирантка решила задачу подтверждения квантовых вычислений



Урмила Махадев провела восемь лет в магистратуре в поисках ответа на один из наиболее базовых вопросов квантовых вычислений: откуда нам знать, что квантовый компьютер сделал хоть что-то на квантовом уровне?



Весной 2017 года Урмила Махадев оказалась в неплохом положении, с точки зрения большинства аспирантов. Она только что решила важнейшую проблему квантовых вычислений – области изучения компьютеров, черпающих свои возможности из странных законов квантовой физики. Вместе с более ранними её работами, новый результат Махадев, описывающий т.н. «слепые вычисления», сделал «очевидным тот факт, что она является восходящей звездой», — сказал
Скот Ааронсон, специалист по информатике из Техасского университета в Остине.

Махадев, которой на тот момент было 28, уже седьмой год была в магистратуре в Калифорнийском университете в Беркли – гораздо дольше, чем срок, который требуется большинству студентов, чтобы потерять терпение и захотеть уже закончить обучение. И вот, наконец, она смогла составить «прекрасную докторскую диссертацию», — сказал
Умеш Вазирани, её куратор в Беркли.

Источник
Загрузка...
Den
1 месяц назад
#

В распределении простых чисел обнаружена дифракционная картина, примерно как у квазикристаллов





В марте 2016 года Роберт Дж. Лемке-Оливер и Каннан Соундарараджан из Стэнфордского университета
открыли новый шаблон в распределении простых чисел. Оказалось, что простые числа
специфически распределяются по числовому пространству. Подробнее см. перевод статьи
«Структура и случайность простых чисел» на Хабре.

К изучению темы подключились специалисты из других областей, в том числе химии. И успешно. Профессор теоретической химии
Сальваторе Торкуато вместе с теоретиком чисел
Мэтью де Курси-Айрлэнд нашли
новые шаблоны в распределении простых чисел, о которых раньше не было известно. Оказалось, что распределение простых чисел образует фракталоподобную дифракционную картину, чем-то похожую на картину дифракции у экзотических квазикристаллов.

Источник
Загрузка...
1 месяц назад
#

Почему теорему Гёделя о неполноте сложно доказать: дело в формулировках, а не только в сути



Грубо говоря, теорема Гёделя о неполноте утверждает, что существуют истинные математические утверждения, которые невозможно доказать. Когда я был в 11-м классе, мы втроём с учителем геометрии г-н Олсеном и моим другом Умой Рой провели пять недель, читая оригинальное доказательство Гёделя. Почему так долго? Отчасти потому, что мы были ещё школьниками. Отчасти потому, что 24-летний Гёдель был не самым талантливым писателем. Но главным образом потому, что доказательство на самом деле довольно трудное.

Это может показаться удивительным, ведь всё доказательство по сути можно уместить в один абзац. Гёдель начинает с построения математического утверждения, по существу эквивалентного предложению,

Это утверждение невозможно доказать.
Затем Гёдель рассматривает, что будет в случае, если это утверждение ложно.

Источник
Загрузка...
1 месяц назад
#

Принцип наименьшего действия в аналитической механике



Предыстория



Причина данной публикации — неоднозначная
статья на тему принципа наименьшего действия (ПНД), опубликованная на ресурсе несколько дней назад. Неоднозначна она потому, что её автор в популярной форме пытается донести до читателя один из основополагающих принципов математического описания природы, и это частично ему удается. Если бы не одно но, притаившееся в конце публикации. Под спойлером приведена полная цитата данного отрывка

Задача о движении шарика
Не все так просто
На самом деле я немного обманул, сказав, что тела всегда двигаются так, чтобы минимизировать действие. Хотя в очень многих случаях это действительно так, можно придумать ситуации, в которых действие явно не минимально.
Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте. При таких заданных условиях шарик может двигаться двумя разными способами. Во-первых, он может просто оставаться на месте. Во-вторых, можно его толкнуть по направлению к стенке. Шарик долетит до стенки, отскочит от нее и вернется обратно. Понятно, что можно толкнуть его с такой скоростью, чтобы он вернулся в точно нужное время.
image
Оба варианта движения шарика возможны, но действие во втором случае получится больше, потому что все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией.
Как же спасти принцип наименьшего действия, чтобы он был справедлив и в таких ситуациях? Об этом мы поговорим в следующий раз.


Так в чем же, с моей точки зрения, проблема?

Источник
Загрузка...
Den
1 месяц назад
#

Титаны от математики схлестнулись над эпичным доказательством abc-гипотезы



Два математика утверждают, что нашли дыру в самом сердце доказательства, вот уже шесть лет сотрясающего математическое сообщество



В
отчёте, опубликованном в сентябре 2018 в интернете,
Петер Шольце из Боннского университета и
Якоб Стикс из Университета имени Гёте во Франкфурте описали то, что Стикс называет «серьёзным и невосполнимым разрывом» в
огромной
серии
объёмных
работ
Синъити Мотидзуки, знаменитого гениального математика из Киотского университета. Опубликованные в интернете в 2012 году работы Мотидзуки якобы доказывают
abc-гипотезу, одну из наиболее далеко идущих задач в
теории чисел.

Источник
Загрузка...
1 месяц назад
#

Sub-Zero: антикварный механический калькулятор. Как им пользоваться (с приветом из 18-го века)



Удивительно изящная машинка, дошедшая до нас из тех древних времён, когда не то что Интернета не было, – ещё даже компьютеров не было. Несколько характеристик Sub-Zero, на которые в своё время делали акцент продвигавшие его маркетологи: (1) работает с числами ± 999999; (2) складывает и вычитает за считанные секунды; (3) никогда не ошибается; (4) удивительно прост в использовании; (5) работает бесшумно; (6) изготовлен из высококачественных материалов, отвечающих германским стандартам; (7) не изнашивается. Создан, чтобы жить долго.



Так что же это за машинка? Каким образом она осуществляет вычисления? Какая у неё начинка? Как ей пользоваться для сложения и вычитания? И вообще, кто её придумал? Обо всём об этом читайте ниже.





Источник
Загрузка...
1 месяц назад
#

Символьное решение линейных дифференциальных уравнений и систем методом преобразований Лапласа c применением SymPy





Реализация алгоритмов на языке Python с использованием символьных вычислений очень удобна при решении задач математического моделирования объектов, заданных дифференциальными уравнениями. Для решения таких уравнений широко используются преобразования Лапласа, которые, говоря упрощенно, позволяют свести задачу к решению простейших алгебраических уравнений.

В данной публикации предлагаю рассмотреть функции прямого и обратного преобразования Лапласа из библиотеки SymPy, которые позволяют использовать метод Лапласа для решения дифференциальных уравнений и систем средствами Python.

Источник
Загрузка...
1 3 4

Авторизация

Пользователи

NewEXE
Георгiй Москвитинъ
Andpyxa Tutunnik
Andrey_fox
Jane linch
genagy
Pasha Radiuk
KotikBSD
Эрик Имашев

GeekBrains

Нетология

Нетология